Orion | Ćwiczenia > Niezbędnik

Niezbędnik astronomiczny

1. Wielkość gwiazdowa: idea pochodząca z 120 roku p.n.e.

Kiedy spoglądamy w niebo w pogodną noc widzimy gwiazdy. Niektóre są jasne, inne tak słabe, że ledwie dostrzegalne z Ziemi. Niektóre słabiutkie gwiazdy są w rzeczywistości bardzo jasne lecz położone bardzo daleko. Z drugiej strony część najjaśniejszych gwiazd na niebie jest w rzeczywistości bardzo słaba, ale leżą blisko nas, więc wydają się być jasne. Wykonując obserwacje astronomiczne czynimy to z powierzchni Ziemi lub z jej bezpośredniej bliskości, możemy zatem mierzyć jedynie ilość docierającego do nas światła. Niestety wielkości obserwowane nie przekładają się w bezpośredni sposób na wielkości opisujące fizyczne parametry gwiazd. Jeśli chcemy dowiedzieć się czegoś więcej o danej gwieździe np. poznać jej rozmiar czy jasność fizyczną (rzeczywistą) musimy najpierw zmierzyć jej odległość od Ziemi.

Historycznie rzecz biorąc, gwiazdy widoczne gołym okiem zostały podzielone na sześć przedziałów w jasności zwanych wielkościami gwiazdowymi (z łaciny: magnitudo, w skrócie: mag). Ten system określania jasności gwiazd został wprowadzony przez greckiego astronoma Hipparcha około 120 roku p.n.e. i jest używany współcześnie z niewielkimi modyfikacjami. Hipparch określił najjaśniejsze gwiazdy jako mające wielkość gwiazdową równą 1, a najsłabsze jako mające wielkość gwiazdową równą 6.
 

Rys. 1 Hipparch (ok.190-120 p.n.e.)
Hipparch, grecki astronom, wynalazca pierwszej skali jasności gwiazd

Astronomia zmieniła się bardzo od czasów Hipparcha! Zamiast używania jedynie oka nieuzbrojonego do obserwacji, w dzisiejszych czasach światło obiektów astronomicznych zbierane jest przez olbrzymie lustra teleskopów naziemnych takich jak Very Large Telescope (VLT) na pustyni Atacama w Chile czy Teleskop Kosmiczny Hubble'a (HST) krążący na orbicie wokółziemskiej. Zgromadzone światło jest następnie analizowane przez instrumenty zdolne detektować obiekty miliardy razy słabsze niż te, które można zaobserwować gołym okiem.

Jednakże nawet dzisiaj astronomowie używają trochę zmodyfikowanego systemu wielkości gwiazdowych Hipparcha zwanego jasnościami obserwowanymi czyli widomymi. Współczesna definicja wielkości gwiazdowych została tak dobrana, aby pomiary jasności już dokonywane nie musiały być zmieniane. Astronomowie posługują się dwoma rodzajami wielkości gwiazdowych: jasnościami obserwowanymi oraz jasnościami absolutnymi .

2. Jasność obserwowana

Jasność obserwowana m gwiazdy jest miarą tego, jak jasna jest gwiazda widziana z Ziemi. Zamiast definiowania jasności obserwowanej poprzez ilość kwantów światła docierających do obserwatora, określamy ją względem jasności obserwowanej oraz natężenia światła pochodzących od gwiazdy odniesienia. Oznacza to, że astronom może określić jasności obserwowane gwiazd poprzez porównanie wyników pomiarów z poprzednio uzyskanymi w sposób absolutny (nie względny) dla gwiazd odniesienia.

Jasność obserwowana m gwiazdy jest określona jako

m = mrel - 2.5 log (I/Irel)

gdzie mrel jest jasnością obserwowaną gwiazdy odniesienia, I jest obserwowanym natężeniem promieniowania od rozważanej gwiazdy oraz Irel jest obserwowanym natężeniem promieniowania od gwiazdy odniesienia. Czynnik 2.5 sprawia, że współczesna, matematyczna definicja jasności gwiazd koresponduje ze starą definicją Hipparcha, opartą na subiektywnych wrażeniach.

Warto zauważyć, że skala jaką Hipparch wybrał przy definiowaniu wielkości gwiazdowych, opierając się jedynie na intuicyjnych przesłankach z obserwacji gołym okiem, jest logarytmiczna, co odzwierciedla sposób reakcji naszego oka na zmianę natężenia światła do niego docierającego.

Jako przykładowe wartości jasności kilku obiektów astronomicznych weźmy Księżyc w pełni, który ma jasność obserwowaną -12.7 mag, jasność Wenus może dochodzić do -4 mag, a Słońce ma jasność około -26.5 mag.

3. Jasność absolutna

Mamy już precyzyjną definicję jasności obserwowanych. Jest to bardzo użyteczne pojęcie dla astronomów, jednakże nie mówi nam ono o fizycznych parametrach gwiazd. Dlatego potrzebujemy wielkości, która pozwoli nam porównywać ze sobą różne gwiazdy i przeprowadzać na nich badania statystyczne. Poszukiwana wielkość to właśnie jasność absolutna .

Jasność absolutna M gwiazdy jest zdefiniowana jako jasność obserwowana jaką miałaby gwiazda umieszczona w odległości 10 parseków od Słońca (o parsekach przeczytasz w Niezbędniku matematycznym). Ponieważ bardzo niewiele gwiazd znajduje się w odległości 10 parseków (pc), używamy równania pozwalającego obliczyć jasność absolutną gwiazd znajdujących się w dowolnej odległości. Formułę tę nazwiemy równaniem na odległość. Relacja ta działa także w drugą stronę, czyli znając jasność absolutną możemy z niej uzyskać odległość do rozważanego obiektu.

4. Różne kolory, różne jasności

W końcu XIX wieku, gdy astronomowie z powodzeniem wykorzystywali klisze fotograficzne do robienia zdjęć obiektów astronomicznych i pomiarów obserwowanych jasności gwiazd, pojawił się nowy problem. Niektóre gwiazdy, które wydawały się mieć identyczną jasność podczas obserwacji gołym okiem, okazywały się mieć różną jasność, gdy pomiarów jasności dokonywano z wykorzystaniem klicz fotograficznych, i odwrotnie. Okazało się, że emulsja fotograficzna wówczas używana była bardziej czuła na światło niebieskie w porównaniu z czułością ludzkiego oka. Natomiast na światło czerwone była mniej czuła niż oko. Bazując na tym spostrzeżeniu wprowadzono dwie skale jasności obserwowanych: jasności wizualne (mvis) opisujące jasność gwiazdy, gdy jest obserwowana okiem nieuzbrojonym oraz jasności fotograficzne (mphot), gdy jest obserwowana za pomocą, czułych na niebieskie światło, czarno-białych klisz fotograficznych. Będziemy stosować skróty dla oznaczenia zdefiniowanych wyżej jasności: mv oraz mp. Kłopot w tym, że różne rodzaje emulsji fotograficznej są czułe na różne kolory. Ludzkie oczy także się pod tym względem różnią! Systemy jasności wykorzystywane dla różnych długości fal muszą być dobrze wykalibrowane. Współcześnie dokładne wartości jasności obserwowanych dla gwiazd są określane za pomocą pomiarów standaryzowanymi fotometrami przy użyciu standardowych filtrów kolorowych. Na przestrzeni lat powstało kilka systemów fotometrycznych, z których najbardziej znany jest system UBV. Nazwa pochodzi od systemu używanych w nim filtrów: filtr U przepuszcza do kliszy fotograficznej światło o długości fal odpowiadających bliskiemu ultrafioletowi, filtr B - światło niebieskie, filtr V - światło odpowiadające z grubsza odbieranemu przez ludzkie oko. Ostatni filtr przepuszcza najwięcej światła w pasmie żółto-zielonym, więc tam gdzie oko jest także najczulsze. Jasności gwiazd w poszczególnych filtrach oznaczamy mU, mB, mV.
 

Rys. 2 Temperatura a kolor gwiazd
Schematyczne diagramy pokazują zależność pomiędzy kolorem a temperaturą powierzchniową gwiazdy. Natężenie promieniowania w funkcji długości fali promieniowania pokazane jest dla dwóch, hipotetycznych gwiazd. Zaznaczona jest widzialna część widma promieniowania. Kolor gwiazdy wyznaczony jest przez położenie maksymalnej wartości natężenia promieniowania w przedziale długości fal dla światła widzialnego. 

5. Od wskaźnika barwy B-V do temperatury

Pojęcie wskaźnika barwy B-V, nazywanego przez astronomów po prostu B-V, jest zdefiniowane jako różnica w jasnościach obserwowanych danej gwiazdy w filtrze B i V czyli mB - mV (w systemie fotometrycznym UBV). Czystobiała gwiazda ma wskaźnik barwy B-V około 0.2 mag, Słońce - równy 0.63 mag, pomarańczowo-czerwona gwiazda Betelgeuze w gwiazdozbiorze Oriona ma B-V równe 1.85 mag, a najbardziej niebieskie gwiazdy mogą mieć B-V wynoszące około -0.4 mag. Jednym z możliwych sposobów myślenia o wskaźniku barwy jest taki, że im bardziej niebieska jest gwiazda, tym mniesza jest jej jasność obserwowana mB wyrażona w wielkościach gwiazdowych, zatem różnica mB - mV jest także coraz mniejsza. Wiemy także, że istnieje dobrze określona relacja pomiędzy temperaturą powierzchniową T gwiazdy oraz jej wskaźnikiem barwy B-V (zaglądnij do artykułu: Reed C., 1998, Journal of the Royal Society of Canada, 92, str. 36-37), więc mierząc wskaźnik barwy możemy określić temperaturę gwiazdy, wykorzystując zależność temperatury T od B-V, przedstawioną na rysunku 3, i daną wzorem

log10(T) = (14.551 - (mB - mV)) / 3.684
 

Rys 3. Temperatura powierzchniowa gwiazdy w funkcji wskaźnika barwy B-V
Wykres przedstawia zależność temperatury powierzchniowej gwiazdy od wskaźnika barwy B-V. Znając temperaturę albo wskaźnik barwy możemy znaleźć wartość drugiej, nieznanej wielkości.

6. Równanie na odległość

Równanie na odległość zapisujemy w następującej formie

m - M = 5 log (D / 10 pc) = 5 log (D) - 5

Przedstawia ono związek zachodzący pomiędzy jasnością obserwowaną m, jasnością absolutną M oraz odległością D do rozważanego obiektu (odległość D mierzona jest w parsekach). Wielkość m-M znana jest pod nazwą modułu odległości i może zostać wykorzystana do wyznaczenia odległości do obiektu.

Prosta algebra pozwala przekształcić to równanie do innej postaci, która często jest wygodniejsza w użyciu (warto przeprowadzić samemu odpowiednie przekształcenia):

D = 10(m-M+5)/5

W celu wyznaczenia odległości we Wszechświecie musimy najpierw wyznaczyć jasność obserwowaną m obiektu, którego odległości poszukujemy. Potem, jeśli znamy rzeczywistą jasność obiektu (jego jasność absolutną M), możemy obliczyć odległość D. Większość trudności w wyznaczaniu odległości w astronomii tkwi w określeniu jasności absolutnych pewnych typów obiektów astronomicznych. Przykładowo, jasności absolutne zostały zmierzone przez satelitę Hipparcos, wysłanego na orbitę wokółziemską przez Europejską Agencję Przestrzeni Kosmicznej (ESA). Satelita ten dokonał, prócz wielu innych obserwacji, precyzyjnych pomiarów odległości oraz jasności obserwowanych bardzo dużej grupy gwiazd w pobliżu Słońca.
 

Rys 4. Satelita HIPPARCOS (własność ESA)
Satelita HIPPARCOS został wyniesiony na orbitę 8 sierpnia 1989 roku przez rakietę Ariane 4. Głównym zadaniem HIPPARCOS-a było sporządzenie katalogu pozycji gwiazd z nieosiągniętą dotąd dokładnością. Zostały zmierzone z wysoką precyzją położenia i odległości około 120000 wcześniej wybranych gwiazd, jaśniejszych niż 13 mag w filtrze B. Misja HIPPARCOS-a zakończyła się w 1993 roku, a ostateczny katalog gwiazd został opublikowany w 1997 roku.

7. Moc i natężenie

Do tej pory mówiliśmy o jasnościach gwiazd, obserwowanej i absolutnej, lecz nie wspominaliśmy ani słowem o tym jak dużo energii promienistej jest w rzeczywistości emitowane przez gwiazdy. Całkowita ilość energii wypromieniowywana przez gwiazdę w ciągu jednej sekundy jest nazywana mocą promieniowania gwiazdy, oznaczana jest L i mierzona w watach (W). Wielkość ta jest odpowiednikiem mocy emitowanej.

Moc promieniowania i jasność są ze sobą powiązane. Odległa gwiazda, mająca dużą moc promieniowania może mieć identyczną jasność obserwowaną jak bliska gwiazda o małej mocy promieniowania. Znając jasność obserwowaną i odległość do gwiazdy jesteśmy w stanie wyznaczyć moc promieniowania gwiazdy.

Gwiazda wypromieniowuje światło we wszystkich kierunkach, więc rozkłada się ono równo na całej sferze otaczającej koncentrycznie gwiazdę. W celu znalezienia natężenia promieniowania I na Ziemi, pochodzącego od gwiazdy, dzielimy moc promieniowania gwiazdy przez powierzchnię sfery otaczającą gwiazdę, o promieniu równym odległości D gwiazdy od Ziemi. Mamy zatem (porównaj z rysunkiem 5)

I = L / (4 π D2)

Moc promieniowania gwiazdy może być także wyrażana jako wielokrotność mocy promieniowania Słońca, gdzie Lsun = 3.85 * 1026 W. Ze względu na to, że Słońce jest naszą gwiazdą i najbardziej z tego powodu znaną, prawie zawsze traktowane jest jako gwiazda odniesienia.

Korzystając z prostych przekształceń znajdujemy wyrażenie na moc promieniowania L gwiazdy, wyrażonej w jednostkach mocy promieniowania Słońca

L/Lsun = (D/Dsun)2 I/Isun

Stosunek I/Isun może być wyznaczony przy użyciu równania z paragrafu pt. Jasność obserwowana, biorąc pod uwagę, że msun = -26.5 mag.
 

Rys 5. Natężenie promieniowania
Rysunek pokazuje jak dana ilość promieniowania oświetla wzrastającą powierzchnię przy wzroście odległości od źródła światła. Pole oświetlonej powierzchni wzrasta z kwadratem odległości, co powoduje, że natężenie promieniowania maleje z kwadratem odległości.

 

Ćwiczenia sprawdzające

Podane tutaj krótkie ćwiczenia pozwolą Ci zapoznać się z dotychczas wprowadzonymi wielkościami.
 
Fot 1. Betelgeuze (konstelacja: Orion, łac.Orion) Fot 2. Wega (konstelacja: Lutnia, łac. Lyra)
Fot 3. Trójkąt letni. W lewym górnym rogu Deneb (konstelacja: Łabędź, łac. Cygnus), przy prawej krawędzi Wega, w lewym dolnym rogu Altair (konstelacja: Orzeł, łac. Aquila)
Fot 4. Syriusz (konstelacja: Wielki Pies, łac. Canis Maior) 

Ćwiczenie NA1

Gwiazda α Orionis (Betelgeuze) ma jasność obserwowaną m=0.45 mag i jasność absolutną M=-5.14.
Znajdź odległość do Betelgeuze.

Betelgeuze jest czerwoną gwiazdą tworzącą lewe ramię Oriona (gdy obserwowana z Ziemi) i jest czerwonym nadolbrzymem. Kiedy patrzymy na nią nieuzbrojonym okiem widzimy wyraźnie, że ma ona pomarańczowo-czerwone zabarwienie.

Ćwiczenie NA2

Gwiazda α Lyrae (Wega), mająca jasność absolutną 0.58 mag znajduje się w odległości 7.76 pc. Oblicz jasność obserwowaną Wegi.

Wega jest najjaśniejszą gwiazdą konstelacji Lutni (łac: Lyra) i prawą, górną gwiazdą tzw. trójkąta letniego.

Ćwiczenie NA3

α Cygni (Deneb) jest lewą, górną gwiazdą w trójkącie letnim oraz najjaśniejszą gwiazdą w gwiazdozbiorze Łabędzia (łac: Cygnus). Jej jasność obserwowana wynosi 1.25 mag, a odległość do Deneba aż 993 pc. Znajdż jej jasność absolutną. Co mówi Ci uzyskany wynik o naturze tej gwiazdy?

Ćwiczenie NA4

Gwiazda α Canis Maioris czyli Syriusz jest najjaśniejszą gwiazdą nocnego nieba. Znajduje się w odległości 2.64 pc, a jej jasność obserwowana wynosi -1.44 mag. Oblicz jasność absolutną Syriusza. Jeśli porównasz ją z jasnością już rozważanych gwiazd, co możesz powiedzieć o rzeczywistej, fizycznej jasności Syriusza?

Ćwiczenie NA5

Gdyby Wega, Syriusz, Betelgeuza i Deneb znajdowały się wszystkie w tej samej odległości od Ziemi równej 10 pc i w tym samym rejonie nieba, co widzielibyśmy?

Ćwiczenie NA6

Jasność absolutna M jest zdefiniowana jako jasność obserwowana gwiazdy, gdyby ją umieścić w odległości 10 pc od Słońca. Nie byłoby poprawniejszym rozwiązaniem mierzyć odległość gwiazdy od Ziemi? Dlaczego nie ma to znaczenia czy mierzymy tę odległość od Słońca, czy od Ziemi?
 
 

Niezbędnik matematyczny

Małe kąty i duże odległości

Przyglądnijmy sie rysunkowi 6. Jeśli b jest małe w porównaniu z c, to możemy założyć, że dwa dlugie boki trójkąta mają długość bardzo zbliżoną do c, co zaznaczono na rysunku jako ~c. Stosując zależność ważną dla trójkątów prostokątnych mamy

sin(β/2) = (b/2)/c

Teraz możemy użyć przybliżenia małych kątów i napisać sin(x) = x, jeśli x jest bardzo małym kątem mierzonym w radianach. Przybliżenie to może wydawać się nieuprawnione, jednakże można matematycznie udowodnić, że działa ono bardzo dobrze w zastosowaniu do bardzo małych kątów.
 

Rys 6. Małe kąty
Jeśli b jest małe w porównaiu z c, to wtedy β jest małym kątem. Możemy wtedy uzyskać zależność pomiędzy b,c oraz β bez stosowania funkcji trygonometrycznych:

Ćwiczenie NM1

Wypróbuj działanie powyższego przybliżenia przez oblicznie sin(1o), sin(1'), sin(1''). Zauważ, że najpierw musisz zamienić stopnie na radiany.

Przy użyciu przybliżenia małych kątów otrzymujemy prostą zależność pomiędzy b,c oraz β bez stosowania funkcji trygonometrycznych

β/2 = (b/2)/c
c = b/β

Jednostki i podstawowe wielkości

1 sekunda łuku = 1/3600 stopnia = 4.848 * 10-6 radiana
1 milisekunda łuku (mas) = 1/1000 sekundy łuku
prędkość światła (c) = 2.997 * 108 m/s
1 parsek (pc) = 3.086 * 1013 km = 3.26 lat świetlnych
1 kiloparsek (kpc) = 1000 parseków
1 megaparsek (Mpc) = 106 parseków
1 nanometr (nm) = 10-9 metra

Dla nauczyciela

Ten rozdział zawiera odpowiedzi do ćwiczeń przedstawionych w obu Niezbędnikach

Ćwiczenie NA1

D = 131 pc

Ćwiczenie NA2

m = 0.03 mag

Ćwiczenie NA3

M = -8.73 mag
Gwiazda jest wyjątkowo jasna w rzeczywistości.

Ćwiczenie NA4

M = 1.45 mag
W porównaniu z Denebem (M = -8.73 mag), Betelgeuze (M = -5.14 mag) czy Wegą (M = -0.58 mag) Syriusz jest w rzeczywistości raczej słabą gwiazdą. Pokazuje to, że nasze zmysły nie zawsze są zdolne poznać 'na odległość' fizyczną rzeczywistość z jaką mamy do czynienia.

Ćwiczenie NA5

Jeśli przenieślibyśmy gwiazdy na odległość 10 pc, to Wega i Syriusz byłyby troszkę słabsze, ale nadal pośród najjaśniejszych gwiazd na niebie. Natomiast Deneb i Betelgeuze byłyby dużo bardziej jasne niż jakiekolwiek inne gwiazdy widoczne nocą z Ziemi.

Ćwiczenie NA6

Nie ma powodu, aby rozróżniać pomiędzy pomiarami jasności gwiazdy z Ziemi i Słońca, ponieważ wzajemna odległość Ziemi i Słońca jest dużo mniejsza niż 10 pc. Można wyznaczyć różnicę w jasnościach obserwowanych gwiazdy gdyby przyjąć odległość raz od Ziemi, a raz od Słońca, i wyniesie ona nie więcej niż 10-6 mag.

Ćwiczenie NM1

sin(1o) = sin(0.017453293 rad) = 0.017452406
sin(1') = sin(0.000290888 rad) = 0.000290888
sin(1'') = sin(4.84814*10-6 rad) = 4.84814*10-6