Jaka jest więc wartość prędkości ucieczki dokładnie na horyzoncie zdarzeń czarnej dziury?

Pytanie:

Kiedyś czytałem, że horyzont zdarzeń to miejsce, gdzie panuje na tyle silna grawitacja, aby uniemożliwić światłu ucieczkę w przestrzeń kosmiczną, ale nie jest jeszcze tak silna, aby zakrzywić promienie z powrotem do środka. Jaka jest więc wartość prędkości ucieczki dokładnie na horyzoncie zdarzeń czarnej dziury? Z góry dziękuję za odpowiedź.
od: Wojtek

Odpowiedź:

dr Zdzisław Golda:

Grawitacja jest jedynym fundamentalnym oddziaływaniem fizycznym występującym powszechnie w przyrodzie. Podlega jej wszelka materia niezależnie od rozmiarów i własności. Również światło podlega oddziaływaniom grawitacyjnym (hipotezę o przyciąganiu światła przez masywne ciała wysunął I. Newton). Pozostałe oddziaływania związane są z własnościami fizycznymi materii.

Jednym z pierwszych uczonych, który rozważał oddziaływanie grawitacji na światło przez ciała masywne był francuski matematyk i astronom P.  S. de Laplace. Doszedł on do wniosku ,,..., że największe i najjaśniejsze ciała we Wszechświecie mogą być z tego powodu niewidoczne''. Rozumowanie Laplace'a polegało na wyznaczeniu prędkości ucieczki, tzn. prędkości którą musimy nadać dowolnemu ciału, aby mogło przezwyciężyć przyciąganie grawitacyjne innego ciała (np. gwiazdy czy planety) i na zawsze oddalić się do nieskończoności. Jeśli weźmiemy pod uwagę gwiazdę na powierzchni, której prędkość ucieczki przekroczy prędkość światła - rozumował Laplace - to wówczas światło takiej gwiazdy nie jest w stanie pokonać przyciągania grawitacyjnego i dotrzeć do odległego obserwatora. Zatem gwiazda ta choć świeci staje się niewidoczna dla obserwatora (jest ,,czarna''). Rozprawę Laplace'a zawierającą dowód możliwości istnienia takich obiektów zacytowali w 1973 r. S. Hawking i G.F.R. Ellis w podręczniku poświęconym matematycznym zagadnieniom czasoprzestrzeni.

W 1984 r. angielski astrofizyk M. Rees na konferencji w Tuluzie przedstawił pracę z 1784 r. brytyjskiego księdza i geologa J. Michella dowodzącą możliwości istnienia gwiazd, których "... światło nie dociera do nas ...." W ten sposób okazało się, że na ten sam pomysł wpadło niezależnie dwóch uczonych.

Przedstawione przez Laplace'a i Michella rozumowanie nie jest poprawne, gdyż oparte jest na prawie powszechnego ciążenia Newtona. Problem ten trzeba rozpatrywać w oparciu o współczesną teorię grawitacji odkrytą przez A. Einsteina, zwaną powszechnie ogólną teorię względności, gdyż odwołujemy się do prędkości światła i bardzo silnych pól grawitacyjnych.

Rozważmy hipotetyczną, sferycznie symetryczną (gęstość zależy jedynie od promienia) planetę, którą ściskamy tak, aby jej masa nie uległa zmianie. Według Newtona dwukrotne zmniejszenie promienia spowoduje czterokrotne zwiększenie siły, zaś według teorii Einsteina siła wzrośnie trochę więcej. Gdy planeta zostanie ściśnięta tak bardzo, że grawitacja stanie się niezwykle silna wówczas różnica pomiędzy opisem Newtona a opisem Einsteina wzrasta drastycznie. Według Newtona siła wzrasta do nieskończoności gdy z promieniem planety zmierzamy do zera. Natomiast druga teoria przewiduje, że siła rośnie do nieskończoności, gdy promień tej planety zbliża się do tzw. promienia grawitacyjnego zwanego również promieniem Schwarzschilda (rg=(2GM)/c2), gdzie M oznacza masę, G stałą grawitacji, a c prędkość światła w próżni. Dla Ziemi promień grawitacyjny wynosi około 1 cm, a Słońca około 3 km. Rozwiązanie równań Einsteina dla takiej hipotetycznej planety znalazł w 1915 r. K. Schwarzschild i jest ono słuszne dla dowolnie silnego pola grawitacyjnego. Później zdano sobie sprawę, że rozwiązanie Schwarzschilda opisuje czarne dziury. Kiedy nasza hipotetyczna planeta nie obraca się wówczas powierzchnia Schwarzschilda stanowi granicę czarnej dziury, którą fizycy określają horyzontem zdarzeń, spoza którego nic nie może wydostać się na zewnątrz.

A teraz problem prędkości ucieczki? Jaką prędkość należy nadać rakiecie, aby startując z powierzchni planety mogła oddalić się do nieskończoności w einsteinowskim opisie pola grawitacyjnego? Odpowiedź jest prosta: wzór podany przez Laplace'a jest taki sam jak w teorii Einsteina. Prędkość ucieczki staje się równa prędkości światła na powierzchni równej promieniowi grawitacyjnemu. Sferę o promieniu równym promieniowi grawitacyjnemu nazywamy sferą Schwarzschilda. Zgodnie z teorią Einsteina, światło ani jakakolwiek inna cząstka nie opuści ciała jeśli jego powierzchnia znajduje się pod sferą Schwarzschilda.

Czarne dziury najprawdopodobniej istnieją we Wszechświecie. W czasie wybuchu dostatecznie masywnej supernowej jej jądro może się skurczyć tak bardzo, że jego powierzchnia znajdzie się pod odpowiadającą jej sferą Schwarzschilda. Nie wiemy co dzieje się z materią jądra, gdyż do wnętrza czarnej dziury nie da się zajrzeć.

11 października 2002